[Python] 다익스트라 알고리즘 (Dijkstra Algorithm)

다익스트라 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때,

특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.

'음의 간선'이 없을 때만 사용할 수 있다.

 

최단 거리 테이블을 이용하며, 그리디와 DP를 이용한다고 볼수 있다.

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다익스트라 알고리즘 기본 원리

[1] 출발 노드 설정

[2] 최단 거리 테이블 초기화

[3] 방문하지 않은 노드들 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택

[4] 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신

[5] [3], [4] 번 반복

 

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구현 방법 2가지

방법 1. 구현이 쉽지만, 동작이 느린 코드 (O(V^2))

방법 2. 구현이 어렵지만, 동작이 빠른 코드 (O(ElogV))

 

 

방법 1. 구현이 쉽지만, 동작이 느린 코드 (O(V^2))

1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제 예시

출발 노드를 1이라 하고 1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산한다.

최단 거리 테이블은 무한으로 초기화하는데, 파이선에서 int(1e9)로 초기화하면 편하다.

기본 원리대로 반복하여 "한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 과정"을 수행한다.

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문 처리 리스트
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(m):
    # 노드 a에서 b로 가는 비용이 c
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 리턴
def get_smallest_node():
    min_val = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_val and not visited[i]:
            min_val = distance[i]
            index = i
    return index

# 다익스트라
def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]]  = j[1]

    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우 무한 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    else:
        print(distance[i])


# 입력   
# 6 11
# 1
# 1 2 2
# 1 3 5
# 1 4 1
# 2 3 3
# 2 4 2
# 3 2 3
# 3 6 5
# 4 3 3
# 4 5 1
# 5 3 1
# 5 6 2

# 출력
# 0
# 2
# 3
# 1
# 2
# 4

 

방법 2. 구현이 어렵지만, 동작이 빠른 코드 (O(ElogV))

 

최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾을 때 파이썬의 heapq를 우선순위큐로 활용하여 시간복잡도를 줄인다.

파이썬의 heap은 기본적으로 최소힙이므로, heappop을 했을 때 가장 작은 원소가 나온다.

(cf. 최대 힙으로 쓰려면 push할 때 -를 붙이고, pop할 때 -를 붙이는 테크닉을 쓴다.)

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입 (거리, 노드번호)로 넣는다
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

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본 게시글은 나동빈 저자의 "이것이 코딩테스트다 with 파이썬" 책 내용을 정리한 것입니다.